Rumus interpolasi, lengkap dengan definisi, manfaat, dan contoh soal

Brilio.net - Interpolasi adalah proses atau metode matematika yang digunakan untuk memperkirakan atau menghitung nilai di antara dua atau lebih titik data yang sudah diketahui. Rumus interpolasi ini digunakan untuk mengisi atau mengekstrapolasi data pada posisi yang tidak ada dalam kumpulan data yang diberikan.

Rumus interpolasi memungkinkan kamu untuk membangun fungsi atau kurva yang melewati titik-titik data yang ada dan digunakan untuk memperkirakan nilai-nilai antara titik-titik tersebut. Tujuan utama interpolasi adalah untuk perkiraan yang akurat dari nilai-nilai antara titik data yang diberikan guna memahami perilaku suatu fungsi di antara titik data yang telah diukur.

Nah, rumus interpolasi sering digunakan dalam berbagai bidang, termasuk ilmu pengetahuan, teknik, pemodelan data, pemrosesan sinyal, grafika komputer, geografi, dan sejumlah disiplin ilmu lainnya. Untuk memahami rumus interpolasi lebih jauh, berikut brilio.net jabarkan ulasan lengkap tentang rumus interpolasi mulai dari pengertian, manfaat, dan cara menghitungnya, hihimpun dari berbagai sumber pada Senin (30/10).

Definisi rumus interpolasi.

foto: freepik.com

Untuk memahami pengertian atau definisi interpolasi merujuk pendapat beberapa ahli di antaranya:

Menurut Efraim Disenfeld, rumus interpolasi adalah suatu metode matematika yang digunakan untuk memperkirakan nilai di antara dua titik data yang sudah dikenal atau terukur. Hal ini memungkinkan kamu untuk mengisi atau memperkirakan nilai di antara titik-titik data tersebut dengan berbagai teknik matematis.

Menurut R.L. Burden dan J.D. Faires, dalam buku mereka yang berjudul "Numerical Analysis," Burden dan Faires mendefinisikan interpolasi sebagai proses menemukan polinomial yang melewati sejumlah titik data yang diberikan. Polinomial ini dapat digunakan untuk memprediksi nilai di antara titik-titik data tersebut.

Sejalan dengan kedua pandangan tersebut, merujuk pendapat Kendall Atkinson, interpolasi adalah teknik yang digunakan untuk memperkirakan nilai dari suatu fungsi pada titik-titik antara data yang sudah ada. Hal ini dapat mencakup berbagai metode, termasuk interpolasi polinomial, interpolasi splin, dan lain-lain.

Dengan demikian definisi rumus interpolasi adalah proses matematis yang digunakan untuk memperkirakan nilai di antara titik-titik data yang sudah diketahui. Tujuannya adalah untuk menciptakan model matematis atau fungsi yang mendekati perilaku data yang sebenarnya di antara titik-titik data tersebut. Interpolasi memiliki berbagai aplikasi dalam berbagai disiplin ilmu, termasuk ilmu pengetahuan, teknik, pemodelan data, dan banyak lagi.

Nah, perlu diketahui bahwa rumus interpolasi dapat dilakukan dengan berbagai metode, seperti interpolasi linear, interpolasi polinomial, interpolasi splin, interpolasi trigonometri, dan lain-lain. Metode yang digunakan tergantung pada data yang tersedia, sifat data, dan akurasi yang dibutuhkan dalam pengembangan model atau prediksi. Pada dasarnya, rumus interpolasi merupakan alat yang penting dalam analisis data, pemodelan matematis, dan pemecahan masalah di banyak bidang ilmu.

 

 

Rumus interpolasi dengan berbagai metodenya.

foto: freepik.com

Rumus interpolasi adalah metode matematika yang digunakan untuk memperkirakan nilai di antara titik-titik data yang sudah diketahui. Terdapat berbagai macam metode interpolasi yang digunakan tergantung pada sifat data dan persyaratan spesifik suatu masalah. Berikut adalah beberapa macam rumus interpolasi yang umum digunakan.

1. Interpolasi Linear.

Interpolasi linear adalah metode paling sederhana di mana kita menghubungkan dua titik data dengan garis lurus. Ini digunakan ketika asumsi bahwa hubungan antara titik data bersifat linier. Rumus interpolasi linear adalah:

f(x) = f(x1) + (x - x1) / x2 - x1) . (f(x2)) - f(x1))

2. Interpolasi kuadratik.

Interpolasi kuadratik adalah perbaikan dari interpolasi linear. Pada dasarnya, bentuk persamaan dari interpolasi linear mempunyai tingkat kesalahan yang relatif tinggi.

Itu karena pendekatan fungsi yang dianggap sebagai garis lurus padahal belum tentu demikian. Pendekatan garis lurus dilakukan dengan cara menghubungkan dua titik. Apabila ada tiga titik yang dapat dihubungkan, maka memerlukan pendekatan berupa garis lengkung.

Jadi, dibutuhkan persamaan kuadratik untuk mengetahui titik yang dicari. Rumus yang digunakan untuk interpolasi kuadratik:

P2(x) = Y0L0(x) + Y1L1(x) + Y2L2(x)
dengan Y0, ... ,Yn = f(x0), .... , f(xn)

L0(x) = (x - x1) (x - x2) / (x0 - x1) (x0 - x2)

L1(x) = (x - x0) (x - x2) / (x1 - x0) (x1 - x2)

L2(x) = (x - x0) (x - x1) / (x2 - x2) (x2 - x1)

3. Interpolasi berderajat tinggi.

Interpolasi berderajat tinggi adalah interpolasi dengan menggunakan tiga data atau lebih. Apabila diasumsikan jumlah titik data adalah n + 1, maka rumus interpolasi berderajat n adalah:

Pn(x) = Y0L0(x) + Y1L1(x) + ... + YnLn(x)
dengan keterangan Y0, ..., Yn dan L0, ..., Ln sama seperti pada interpolasi kuadratik.

4. Interpolasi Bilinear dan Bicubic.

Interpolasi bilinear digunakan untuk interpolasi pada data berbentuk grid 2D, sedangkan interpolasi bicubic digunakan ketika titik data tersusun dalam grid 2D dan menghasilkan kurva yang lebih halus daripada interpolasi bilinear.

5. Interpolasi Kriging.

Interpolasi kriging adalah metode yang digunakan dalam geostatistik untuk memprediksi nilai di suatu lokasi berdasarkan data titik di sekitarnya. Ini mengambil keuntungan dari informasi spasial dalam proses interpolasi.

6. Interpolasi Polinomial (Polynomial Interpolation).

Polinomial interpolasi dapat menggunakan polinom berorde rendah hingga tinggi untuk mencocokkan titik data. Interpolasi Lagrange dan Metode Newton adalah dua metode umum untuk interpolasi polinomial.

7. Interpolasi Splin.

Interpolasi splin menggabungkan beberapa polinomial berorde rendah untuk menghubungkan titik data. Ini menghasilkan kurva yang lebih halus daripada interpolasi polinomial tunggal. Metode splin kubik adalah salah satu metode interpolasi splin yang paling populer.

 

Manfaat rumus interpolasi.

foto: freepik.com

Rumus interpolasi memiliki sejumlah manfaat yang penting dalam berbagai bidang ilmu dan aplikasi. Berikut adalah beberapa manfaat utama dari penggunaan rumus interpolasi:

1. Pengisian data yang hilang.

Salah satu manfaat utama interpolasi adalah kemampuannya untuk mengisi data yang hilang atau tidak tersedia. Dalam situasi di mana hanya beberapa titik data yang diketahui, interpolasi memungkinkan kita untuk memperkirakan nilai di antara titik-titik tersebut.

2. Prediksi nilai.

Interpolasi memungkinkan kita untuk memprediksi nilai-nilai di luar rentang data yang diberikan. Dengan mengambil informasi dari titik data yang diketahui, kita dapat membuat estimasi yang masuk akal tentang bagaimana variabel tersebut akan berperilaku di luar titik-titik tersebut.

3. Pemodelan dan analisis data.

Rumus interpolasi memungkinkan kita untuk memodelkan dan menganalisis data dengan lebih baik. Dengan membangun kurva atau fungsi yang melewati titik data, kita dapat memahami tren dan hubungan antara variabel dalam data tersebut.

4. Grafika dan visualisasi.

Interpolasi digunakan dalam grafika komputer untuk membuat objek yang lebih halus dan lebih realistis. Ini membantu dalam membuat gambar yang lebih menarik dan lebih mirip dengan dunia nyata.

5. Geografis dan pemetaan.

Dalam geografi dan pemetaan, interpolasi digunakan untuk menghasilkan peta yang lebih akurat dan berkesinambungan. Misalnya, untuk menghasilkan peta kontur yang halus dari data titik elevasi.

6. Pemrosesan sinyal.

Dalam pemrosesan sinyal, interpolasi digunakan untuk menghasilkan sinyal yang lebih halus dan akurat, yang dapat membantu dalam analisis dan pemahaman sinyal.

Dengan menggunakan rumus interpolasi, kita dapat mengoptimalkan penggunaan data yang ada dan membuat keputusan yang lebih tepat berdasarkan informasi yang tersedia. Ini adalah alat yang kuat dalam analisis data dan pemodelan di berbagai bidang.

Contoh soal seputar rumus interpolasi.

foto: freepik.com

Contoh Soal 1

Anda memiliki data suhu harian selama 7 hari seperti ini:

Hari 1: 25°C
Hari 2: 28°C
Hari 3: 32°C
Hari 4: 29°C
Hari 5: 30°C
Hari 6: 26°C
Hari 7: 27°C

Hitung suhu perkiraan pada hari ke-4. Gunakan interpolasi linear.

Jawaban:

Dalam interpolasi linear, kamu menghubungkan dua titik data dan memperkirakan nilai di antara keduanya. Untuk menghitung suhu pada hari ke-4, kamu dapat menggunakan rumus interpolasi linear:

Suhu(4) = suhu(3) + (4 - 3) / (4 - 3) . (Suhu(4) - Suhu(3))

Suhu(4) = 32°C + (4 - 3) . (29°C - 32°C = 32°C + (-3°C) = 29°C

Jadi, suhu perkiraan pada hari ke-4 adalah 29°C.

Contoh Soal 2

Anda memiliki data waktu perjalanan sepanjang minggu kerja dalam detik seperti ini:

Hari 1: 900 detik
Hari 2: 810 detik
Hari 3: 720 detik
Hari 4: 730 detik
Hari 5: 825 detik
Hari 6: 910 detik
Hari 7: 890 detik

Hitung waktu perkiraan pada hari ke-3. Gunakan interpolasi linear.

Jawaban:

Untuk menghitung waktu pada hari ke-3, kita dapat menggunakan rumus interpolasi linear seperti sebelumnya:

Waktu(3) = Waktu(2) + (3-2) / (3-2) . (Waktu(3) - Waktu(2))

Waktu(3) = 810detik + (3 - 2) . (720 detik - 810detik) = 810detik + (-90detik) = 72detik

Jadi, waktu perkiraan pada hari ke-3 adalah 720 detik.

Contoh Soal 3

Anda memiliki data berat badan balita selama 5 bulan pertama seperti ini:

Bulan 1: 3.5 kg
Bulan 2: 4.2 kg
Bulan 3: 4.9 kg
Bulan 4: 5.6 kg
Bulan 5: 6.3 kg

Hitung berat perkiraan pada bulan ke-3.5. Gunakan interpolasi linear.

Jawaban:

Untuk menghitung berat pada bulan ke-3.5, kita dapat menggunakan rumus interpolasi linear seperti yang telah dijelaskan sebelumnya:

Berat(3.5) = Berat(3) + (3.5 - 3) / (3.5 - 3) . (Berat(4) - Berat(3))

Berat(3.5) = 4.9kg + (3.5 - 3) . (5.6kg - 4.9kg) = 4.9kg + 0.5kg = 5.4 kg

Jadi, berat perkiraan pada bulan ke-3.5 adalah 5.4 kg.

Contoh Soal 4

Anda memiliki data populasi kota selama 5 tahun terakhir sebagai berikut:

Tahun 1: 100,000 penduduk
Tahun 2: 110,000 penduduk
Tahun 3: 120,000 penduduk
Tahun 4: 130,000 penduduk
Tahun 5: 140,000 penduduk

Hitung perkiraan populasi pada tahun ke-3.5. Gunakan interpolasi linear.

Jawaban:

Untuk menghitung perkiraan populasi pada tahun ke-3.5, kita dapat menggunakan rumus interpolasi linear seperti sebelumnya:

Populasi(3.5) = populasi(3) + (3.5 - 3) / (4 - 3) . (Populasi(4) - (Populasi(3))

Populasi(3.5) = 120 penduduk + (3.5 - 3) . (130.000 penduduk - 120.000 penduduk) = 120.000 penduduk + 20.000 penduduk = 140.000 penduduk.

Jadi, perkiraan populasi pada tahun ke-3.5 adalah 140,000 penduduk.

Contoh Soal 5

Anda memiliki data tinggi tanaman selama 6 minggu pertama sebagai berikut:

Minggu 1: 10 cm
Minggu 2: 15 cm
Minggu 3: 20 cm
Minggu 4: 28 cm
Minggu 5: 35 cm
Minggu 6: 42 cm

Hitung tinggi perkiraan pada minggu ke-4.5. Gunakan interpolasi linear.

Jawaban:

Untuk menghitung tinggi pada minggu ke-4.5, kita dapat menggunakan rumus interpolasi linear seperti yang telah dijelaskan sebelumnya:

Tinggi(4.5) = Tinggi(4) + (4.5 - 4) / (5 - 4) . (Tinggi(5) - Tinggi(4))

Tinggi(4.5) = 28cm + (4.5 - 4) . (35cm - 28cm) = 28cm + 7cm = 35cm

Jadi, perkiraan tinggi pada minggu ke-4.5 adalah 35 cm.