Brilio.net - Matematika SMA identik dengan materi yang penuh perhitungan logis dan rumus yang perlu dipahami secara mendalam. Salah satu materi penting yang selalu muncul di kelas maupun ujian adalah turunan fungsi. Turunan bukan hanya dipelajari untuk kebutuhan akademis, tetapi juga menjadi dasar dalam berbagai bidang seperti fisika, ekonomi, hingga teknik. Oleh karena itu, memahami rumus turunan beserta penerapannya sangatlah penting.

Banyak siswa yang merasa turunan fungsi terlihat rumit karena melibatkan simbol-simbol matematika. Padahal, jika dipahami dengan benar, turunan bisa dipelajari dengan mudah melalui langkah sistematis dan contoh soal yang jelas. Dengan latihan yang konsisten, siswa akan lebih cepat menguasai konsep turunan dan mampu menyelesaikan soal ujian dengan percaya diri.

Dihimpun brilio.net dari berbagai sumber, berikut ulasan lengkap mengenai rumus turunan fungsi Matematika SMA beserta 20 contoh soal dan pembahasan yang sudah disusun agar mudah dipahami. Contoh-contoh ini mencakup berbagai tipe soal, mulai dari turunan sederhana, turunan fungsi trigonometri, hingga soal cerita yang sering muncul dalam ujian.

Rumus turunan fungsi matematika SMA

Rumus turunan fungsi Matematika SMA © 2025 brilio.net

Rumus turunan fungsi Matematika SMA
© 2025 brilio.net/Reve/AI

Aturan dasar turunan

Jika ( f(x) = c ), maka ( f'(x) = 0 )
Jika ( f(x) = x^n ), maka ( f'(x) = n cdot x^{n-1} )
Jika ( f(x) = k cdot g(x) ), maka ( f'(x) = k cdot g'(x) )
Jika ( f(x) = g(x) + h(x) ), maka ( f'(x) = g'(x) + h'(x) )

Aturan perkalian dan pembagian

( (u cdot v)' = u'v + uv' )
( left(frac{u}{v}right)' = frac{u'v - uv'}{v^2} )

Aturan rantai (Chain Rule)

Jika ( y = f(g(x)) ), maka ( y' = f'(g(x)) cdot g'(x) )

Turunan fungsi trigonometri

( (sin x)' = cos x )
( (cos x)' = -sin x )
( (tan x)' = sec^2 x )
( (cot x)' = -csc^2 x )
( (sec x)' = sec x cdot tan x )
( (csc x)' = -csc x cdot cot x )

20 Contoh soal turunan fungsi Matematika SMA lengkap dengan jawaban

Contoh 1
Tentukan turunan dari ( f(x) = 5x^3 ).
Jawab:
( f'(x) = 3 cdot 5x^{3-1} = 15x^2 )

Contoh 2
Jika ( f(x) = 7x^4 - 2x^2 ), tentukan ( f'(x) ).
Jawab:
( f'(x) = 7 cdot 4x^3 - 2 cdot 2x = 28x^3 - 4x )

Contoh 3
Turunkan ( f(x) = sqrt{x} ).
Jawab:
( f(x) = x^{1/2} )
( f'(x) = tfrac{1}{2} x^{-1/2} = frac{1}{2sqrt{x}} )

Contoh 4
Jika ( f(x) = frac{1}{x} ), tentukan turunan pertamanya.
Jawab:
( f(x) = x^{-1} )
( f'(x) = -x^{-2} = -frac{1}{x^2} )

Contoh 5
Tentukan turunan dari ( f(x) = (3x^2)(x^3) ).
Jawab:
Gunakan aturan perkalian:
( u = 3x^2, , v = x^3 )
( u' = 6x, , v' = 3x^2 )
( f'(x) = u'v + uv' = (6x)(x^3) + (3x^2)(3x^2) = 6x^4 + 9x^4 = 15x^4 )

Contoh 6
Turunkan ( f(x) = frac{x^2 + 1}{x} ).
Jawab:
Gunakan aturan pembagian:
( u = x^2 + 1, , v = x )
( u' = 2x, , v' = 1 )
( f'(x) = frac{(2x)(x) - (x^2 + 1)(1)}{x^2} = frac{2x^2 - x^2 - 1}{x^2} = frac{x^2 - 1}{x^2} )

Contoh 7
Tentukan turunan dari ( f(x) = sin x ).
Jawab:
( f'(x) = cos x )

Contoh 8
Tentukan turunan dari ( f(x) = cos x ).
Jawab:
( f'(x) = -sin x )

Contoh 9
Tentukan turunan dari ( f(x) = tan x ).
Jawab:
( f'(x) = sec^2 x )

Contoh 10
Tentukan turunan dari ( f(x) = ln x ).
Jawab:
( f'(x) = frac{1}{x} )

Contoh 11
Jika ( f(x) = e^x ), tentukan ( f'(x) ).
Jawab:
( f'(x) = e^x )

Contoh 12
Turunkan ( f(x) = (x^2 + 3)^5 ).
Jawab:
Gunakan aturan rantai:
( u = x^2 + 3 Rightarrow u' = 2x )
( f'(x) = 5(x^2 + 3)^4 cdot 2x = 10x(x^2 + 3)^4 )

Contoh 13
Jika ( f(x) = sqrt{3x + 1} ), tentukan ( f'(x) ).
Jawab:
( f(x) = (3x+1)^{1/2} )
( f'(x) = frac{1}{2}(3x+1)^{-1/2} cdot 3 = frac{3}{2sqrt{3x+1}} )

Contoh 14
Tentukan turunan dari ( f(x) = sec x ).
Jawab:
( f'(x) = sec x cdot tan x )

Contoh 15
Tentukan turunan dari ( f(x) = csc x ).
Jawab:
( f'(x) = -csc x cdot cot x )

Contoh 16
Tentukan turunan dari ( f(x) = x^3 sin x ).
Jawab:
Gunakan aturan perkalian:
( u = x^3, , v = sin x )
( u' = 3x^2, , v' = cos x )
( f'(x) = u'v + uv' = 3x^2 sin x + x^3 cos x )

Contoh 17
Tentukan turunan dari ( f(x) = frac{sin x}{x} ).
Jawab:
Gunakan aturan pembagian:
( u = sin x, , v = x )
( u' = cos x, , v' = 1 )
( f'(x) = frac{(cos x)(x) - (sin x)(1)}{x^2} = frac{x cos x - sin x}{x^2} )

Contoh 18
Jika ( f(x) = (x^2 - 4)(x^3 + 1) ), tentukan ( f'(x) ).
Jawab:
( u = x^2 - 4, , v = x^3 + 1 )
( u' = 2x, , v' = 3x^2 )
( f'(x) = u'v + uv' = (2x)(x^3+1) + (x^2-4)(3x^2) )
( f'(x) = 2x^4 + 2x + 3x^4 - 12x^2 )
( f'(x) = 5x^4 - 12x^2 + 2x )

Contoh 19
Tentukan turunan dari ( f(x) = ln(2x+5) ).
Jawab:
Gunakan aturan rantai:
( f'(x) = frac{1}{2x+5} cdot 2 = frac{2}{2x+5} )

Contoh 20
Tentukan turunan dari ( f(x) = e^{3x^2} ).
Jawab:
Gunakan aturan rantai:
( f'(x) = e^{3x^2} cdot (6x) = 6xe^{3x^2} )