Rumus persamaan kuadrat, lengkap dengan pengertian, sifat, contoh soal dan cara pengerjaannya

Sifat-sifat persamaan kuadrat.

foto: freepik.com

1. Mempunyai dua akar.

Persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 selalu memiliki dua akar, yaitu dua nilai x yang memenuhi persamaan tersebut. Akar-akar ini mungkin berbeda, sama, atau bahkan tidak ada, tergantung pada diskriminan

2. Diskriminan.

Diskriminan (D) (b² - 4ac). Sifat ini menentukan bagaimana akar-akar-akar persamaan kuadrat terdistribusi:

- Jika D > 0, maka persamaan memiliki dua akar berbeda.

- Jika D = 0, maka persamaan memiliki satu akar ganda.

- Jika D < 0, maka persamaan tidak memiliki akar real (solusi kompleks).

3. Simetri.

Grafik fungsi kuadrat adalah simetris terhadap sumbu tegak lurus yang berada di tengah dua akarnya. Ini berarti jarak antara titik puncak (vertex) dan setiap akar adalah sama.

4. Titik puncak (vertex).

Titik puncak adalah titik maksimum atau minimum dari grafik fungsi kuadrat, tergantung pada tanda koefisien a. Jika > 0, maka titik puncak adalah minimum, dan jika a < 0, maka titik puncak adalah maksimum.

5. Membuka ke atas atau ke bawah.

Koefisien a menentukan arah pembukaan grafik persamaan kuadrat. Jika a > 0, grafik membuka ke atas, dan jika a < 0, grafik membuka ke bawah.

6. Intersepsi dengan Sumbu-X:

Persamaan kuadrat selalu memotong sumbu-X pada dua titik (akar). Titik-titik ini adalah tempat di mana y = 0.

7. Hubungan antara koefisien dan akar.

Koefisien-koefisien persamaan kuadrat (a, b, c) berhubungan dengan akar-akarnya. Misalnya, jumlah akar adalah -b/a dan hasil kali akar adalah c/a.

8. Asimtot horizontal.

Grafik persamaan kuadrat mendekati asimtot horizontal saat (x) menjadi sangat besar. Asimtot ini berada pada tingkat y = 0 jika a>0 (grafik membuka ke atas) atau y = ∞ jika a < 0 (grafik membuka ke bawah).

9. Titik pusat.

Titik (h, k) adalah titik pusat dari grafik persamaan kuadrat yang memiliki bentuk (x − h)² = k dalam bentuk kuadrat sempurna.

Contoh soal seputar rumus persamaan kuadrat.

foto: freepik.com

1. Diketahui persamaan kuadrat x² + 5 = 3 (x – 1) memiliki bentuk umum persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0. Tentukan berapakah nilai-nilai koefisien a, b dan juga c dari persamaan kuadrat tersebut.

Jawab:

Untuk menentukan nilai-nilai koefisien a, b dan c, kita harus menyamakan koefisien-koefisien x yang berpangkat sama di kedua ruas persamaan. Dengan demikian, kita dapat menulis:

x² + 5 = 3 (x – 1) ⇔ x² + 5 = 3x – 3 ⇔ x² - 3x + 8 = 0

Dari persamaan terakhir, kita dapat melihat bahwa:

a = 1 b = -3 c = 8

2. Diketahui persamaan kuadrat x² - 3x + c = 0 mempunyai salah satu akar sebesar 5. Tentukan nilai c dan akar lainnya.

Jawab:

Karena salah satu akar dari persamaan kuadrat adalah 5, maka kita dapat mengganti x dengan 5 dan menyederhanakan persamaannya. Dengan demikian, kita dapat menulis:

x² - 3x + c = 0 ⇔ (5)² - 3(5) + c = 0 ⇔ 25 - 15 + c = 0 ⇔ c = -10

Untuk mencari akar lainnya, kita dapat menggunakan rumus ABC atau rumus kuadrat, yaitu:

x = -b ± √b² - 4ac / 2a

Dengan a = 1, b = -3 dan c = -10, kita dapat menghitung:

x = -(-3) ± √(-3)² -4(1)(-10) / 2(1)

x = 3 ± √49 / 2

x = -2

Jadi, nilai c adalah -10 dan akar lainnya adalah -2.

3. Sebuah kelereng dijatuhkan dari atap suatu gedung. Persamaan gerak kelereng tersebut mengikuti persamaan ketinggian seperti berikut.

h (t) = 3x² – 12x -12

dengan t dalam s dan h dalam m

Waktu yang diperlukan kelereng untuk mencapai tanah adalah?

Jawab:

Saat menyentuh tanah, ketinggian bola = 0 atau h ( t) = 0. Dengan demikian h (t) = 3x² – 12x - 12 ⇔ 3x² – 12x - 12 = 0 ⇔ x² – 4x – 4 = 0 ⇔ (x – 2) (x – 2) = 0 ⇔ x = x = 2

Jadi, waktu yang diperlukan kelereng untuk menyentuh tanah adalah 2 s.

4. Andi berencana membeli sebidang tanah yang luasnya 80 m². Oleh karena suatu hal, si pemilik tanah tidak memberitahu Andi ukuran panjang dan lebarnya. Namun si pemilik tanah memberitahu bahwa jika panjang tanah ditambah lebar tanah hasilnya 20 m dan jika panjang tanah dikurangi lebar tanah hasilnya 4 m.

Tentukan ukuran panjang dan lebar tanah tersebut!

Jawab:

Misalkan panjang tanah adalah x m dan lebar tanah adalah y m. Maka kita dapat menulis dua persamaan sebagai berikut:

x + y = 20 x - y = 4

Untuk menyelesaikan sistem persamaan tersebut, kita dapat menggunakan metode penjumlahan, yaitu dengan menjumlahkan kedua persamaan tersebut. Dengan demikian, kita dapat menulis:

(x + y) + (x - y) = 20 + 4 ⇔ 2x = 24 ⇔ x = 12

Dari persamaan x + y = 20, kita dapat menentukan nilai y sebagai berikut:

x + y = 20 ⇔ 12 + y = 20 ⇔ y = 8

Jadi, ukuran panjang tanah adalah 12 m dan ukuran lebar tanah adalah 8 m.

5. Nilai dari 2a + b – c adalah:

Jawab:

Untuk menyelesaikan soal ini, kita bisa menggunakan metode pemfaktoran adalah sebagai berikut:

Faktorkan persamaan berikut.

x² - x - 6 = 0

⇔ (x - 3) (x + 2) = 0

Dengan demikian, akar-akarnya adalah x

⇔ x = 3 x = -2

Dari bentuk umum persamaan kuadrat, kita dapat menentukan nilai a, b dan c sebagai berikut:

a = 1 b = -1 c = -6

Dengan demikian, nilai 2a + b – c adalah:

2a + b – c = 2 (1) + (-1) – (-6) = 2 - 1 + 6 = 7